\chapter{Radiazione di Corpo nero}

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\section{appunti 16/05}





Si definisce il \emph{Corpo Nero} come il corpo che \`e in grado di
assorbire tutta la radiazione incidente.

Ad esempio una cavit\`a con un piccolo foro pu\`o rappresentare un corpo nero (la probabilit\`a che un raggio, entrante nel foro, esca, \`e trascurabile). Il corpo nero pu\`o emettere a sua volta radiazione propria. Se \`e in equilibrio termico, la radiazione entrante sar\`a uguale a quella uscente, in quanto deve mantenersi a temperatura costante. Anche
il sole pu\`o essere considerato un corpo nero, se assorbe della
radiazione a sua volta dovr\`a emettere radiazione in modo da
mantenere la temperatura costante.


Si consideri un'onda elettromagnetica piana avente vettore d'onda $\bar{k}$ (con direzione pari a quella di propagazione e modulo pari a $2\pi/\lambda$) e polarizzazione $\alpha$ ($+$ se il campo elettrico ruota in senso antiorario ortogonalmente alla direzione di propagazione, $-$ se ruota in senso orario). Valgono le equazioni:
\begin{equation}
\nu \lambda = c
\end{equation}
\begin{equation}
2 \pi \nu = \omega
\end{equation}
dove $\nu $ \`e la frequenza, $\lambda$ \`e la lunghezza d'onda, $c$
\`e la velocit\`a della luce e $\omega$ \`e la pulsazione angolare


A tale onda, supposta (!) in equilibrio termico a temperatura T, si associa in posizione $\bar{r}$ la densit\`a di energia $u_\alpha
(\bar{k},\bar{r}, T)$. L'energia associata alle onde aventi vettore d'onda compreso tra $\bar{k}$ e $\bar{k}+\bar{dk}$, posizione compresa tra $\bar{r}$ e $\bar{r}+\bar{dr}$ e polarizzazione $\alpha$, ovvero l'energia in ogni volumetto $d^3\!r \, d^3\!k$ dello spazio di coordinate $(\bar{k},\bar{r})$, \`e:
\begin{equation}
dE=u_\alpha(\bar{k},\bar{r}, T) d^3\!k \, d^3\!r
\end{equation}


A questo punto, basandosi sul secondo principio della termodinamica,
in questo paragrafo dimostreremo che che $u_\alpha (\bar{k},\bar{r},
T) = u(\bar{k}, T)$, la densit\`a non dipende dalla posizione, ma
solamente dal numero d'onda e dalla temperatura.








Basta che prenda all'interno della cavit\`a due posizioni, se la
densit\`a di energia \`e diversa per fissato $k$ e $\alpha$, allora
posso piazzare uno strumento che assorbe energia
elettromagnetia. Ovviamente questo strumento assorbe in proporzione
all'energia presente. I due corpi nelle due posizioni saranno a due
temperature diverse. A questi due corpi a temperatura diversa posso
inserie una macchina a ciclo di Carnot e posso estrare lavoro in
contrario con le ipotesi che il corpo ha una temperatura nominale da
T. -> non dipende dalla posizione $r$.

Non dipende neanche da $k$. Prendo un corpo che assorbe energia da
``nord'' e un corpo in un'altra direzione che assorbe solo da ``est''
e si otterebbe come prima lavoro dalla macchina, assurdo. -> non
dipende neanche dalla direzione.

Ancora vale per $u_-$ e $u_+$ hanno la stessa energia, dim: ripetere
lo stesso ragionamento.


Caveat: La densit\`a di energia non dipende dal tipo di cavit\`a.
Dimostrazione: prendiamo due cavit\`a diverse, alla stessa temperatura
$T$. Le metto in contatto attraverso un forellino. Quanto vale la
densit\`a di energia nel forellino del corpo 1 e del corpo 2?

Se il flusso di energia \`e $J^{(i)} = \frac{c u^{(i)}}{4}$ ucente.

I flussi dei due corpi
\begin{equation}
J_{1->2} = \frac{c u_{(1)}}{4}
\end{equation}
\begin{equation}
J_{2->1} = \frac{c u_{(2)}}{4}
\end{equation}
se i due flissi sono diversi da zero uno deve essere negativo e uno
positivo e si deve avere che uno si riscalda e l'altro si raffredda ed
\`e in contrasto con l'ipotesi che sono alla stessa temperatura. cvd.


La densit\`a di energia totale \`e data da:
\begin{equation}
u(T) = \int d^3\! u(k,T)
\end{equation}
e l'energia
\begin{equation}
U = V u(T)
\end{equation}

Proviamo a calcolare la pressione della radiazione: prendiamo una
parete irradiata da un'onda elettromagnetica.

Nota sulla relativit\`a ristretta: $\chi = \frac{m c^2}{\sqrt{1 -
    frac{v^2}{c^2}}} \approx m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \ldots$
La quantit\`a di moto diventa: $\bar{P} = \frac{m
    \bar{v}}{\sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}$
alla velocit\`a della luce la quantit\`a di moto andrebbe a +
    infinito. Non pu\`o essere allora la massa diventa zero.

Quindi la quantit\`a di moto diventa $p=\frac{u}{c}$

Mentre il flusso di quantit\`a di moto: $\frac{u}{c} c= u$ che \`e la
u stessa.

Per calcolare la pressione sulla superficie $\Sigma$ ?????
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ERRORE
\begin{equation}
\cos{\theta} \Sigma [ u\cdot \hat{r}= u \cdot \hat{i}] = -
\bar{F}\\
\hat{r} - \hat{i} = 2 \cos{\theta} \hat{n}
\end{equation}

La forza dovuta alla pressione \`e:
\begin{equation} \bar{F} = - \int \Sigma u \hat{n} 2 \cos{\theta} \cos{\theta} d\theta =
- P \hat{n} \Sigma \cos{\theta}
\end{equation}
si trova che la quantit\`a di moto
\begin{equation}
P=
\end{equation}
%*************************************

Flusso della quantit\`a di moto
\begin{equation}
\Sigma \cos{\theta} u [ \hat{r} - \hat{i}] = 2 \cos{\theta}^2 u \Sigma
\end{equation}

GRAFICO 6

La radiazione contenuta nell'angno solido $d\Omega$
\begin{equation}
\int \frac{d\Omega}{4 \pi} \Sigma \cos{\theta} u [ \hat{r} - \hat{i}] = \int
2 \cos{\theta}^2 u \Sigma \frac{d\Omega}{4 \pi} = - \bar{F} = - \hat{n}
\Sigma P
\end{equation}

Variazione della quantit\`a di moto dovuta alla radiazione e integrata
su tutto l'angolo solido. ($d\Omega= d\phi d\theta \sin{\theta}$)

La pressione della radiazione vale:
\begin{equation}
P = \int \frac{d\Omega}{4 \pi} \cos{\theta}^2 2 u 
=\frac{2 u}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} d \phi \int_0^{\frac{\pi}{2}}
d\theta \sin{\theta} \cos{\theta}^2 = \frac{u}{3}
\end{equation}



La termodinamica ci dice che
\begin{equation}
P = \frac{u}{3}
\end{equation}
usando il primo principio
\begin{equation}
dU = - P dV + T dS
\end{equation}
allora la entrpia
\begin{equation}
dS = \frac{dU}{T} + \frac{P}{T} dV
\end{equation}
allora possiamo calcolarci $dU$
\begin{equation}
dU = U(T)dV + V u'(T) dT
\end{equation}
e mettendola dentro la precedente si ricava
\begin{equation}
dS = \frac{u}{T} dV + \frac{V}{T} u' dT + \frac{u}{3T} dV =
\frac{4}{3} \frac{u}{T} dV + \frac{u' V}{T} dT
\end{equation}
le derivate miste devono essere eguali, la prima addendo \`e la derivata
pariziale rispetto a T e il secondo rispetto a V
\begin{equation}
=>\frac{4}{3}\left(\frac{u'}{T} - \frac{u}{T^2} \right)= ... =
\frac{u'}{T}\\
-> \frac{u'}{3T} = \frac{u}{T^2} \frac{4}{3}
\end{equation}
\begin{equation}
\ln{u} = \ln{T^4} + A \\
u(T) = e^A T^4
\end{equation}
abbiamo detto anche che
\begin{equation}
J = I = \frac{c u}{4} = \frac{c e^A}{4} T^4 = \sigma T^4
\end{equation}
detta legge di Stefan-Boltzmann
Sigma deve avere le dimensioni di una densit\`a. Sperientalmente si
ricva che $\sigma = 5.6686 \, 10^{-8} \ \frac{W}{m^2} \frac{1}{k^4}$

Utilizzando l'effetto dopler, introduco la densit\`a di energia di un
intervallino con lunghezza d'onda in $\lambda$ e $\lambda + d\lambda$
\begin{equation}
u_\lambda (\lambda, T) = T^5 f(f, T)
\end{equation}
se ha un massimo lo ha in $\lambda_M$ che \`e inversamente
proporzionale alla tempreratura $\lambda_M \varpropto \frac{1}{T}$
e si chiama legge di Wien e si trova sperimentalmente che $\lambda_M
T= x_0 = 2.8979 \, 10^{-3} \ m K$

$u (k) d^3\!k ->$ coordinate  polari $k^2 u_k (k) dk d\Omega$ integrata
su tutto $d\Omega$
\begin{equation}
u_k (k) dk = 4 \pi K^2 u(k) dk
\end{equation}
energia tra $k$ e $k + dk$.

A questo punto devo avere che la densit\`a di eneriga tra k e k+ dk e
$\lambda$ e $\lambda + d\lambda$ deve essere la stessa.
\begin{equation}
u_k()dk = u_\lambda ()d\lambda
--> u_\lambda(\lambda) = u_k(k) \| \frac{dk}{d\lambda} \| = \frac{2
  \pi}{\lambda^2} u_k(k)
\end{equation}




\section{paradosso della catatrofe ultravioletta}

Rayleigh-Jeans nel 1900



Ogni onda piana con un numero d'onda k poteva essere visto come un
oscillatore armonico, che ha la caratteristica (l'oscillatore)
\begin{equation}
H = 1/2 \frac{p^2}{m} + \frac{m \omega^2}{2} x^2 \\
<H> = \frac{k_B T}{2} 2 = k_B T
\end{equation} quello che \`e stato detto che la densit\`a di energia $u_\lambda$
pu\`o essere vista come oscillatori armonici di lunghezza d'onda tra
$\lambda$ e $\lambda + d\lambda$
\begin{equation}
u_\lambda (\lambda,T) = k_B T N(\lambda) d\lambda
\end{equation}
dove $N(\lambda)$ \`e la densit\`a di onde piane per unit\`a di
lunghezza d'onda $\lambda$ e $\lambda + d\lambda$.


Ogni funzione pu\`o essere strasformata alla Fourier ed ogni onda
pu\`o essere vista come somma di onde piane che sono onde
armoniche.


GRAFICO mancante del cubo/toroide
\begin{equation}
E_z = E_{\sigma z} e^{i(\bar{z}\bar{r} - \omega t)}
\end{equation}
deve essere periodica di periodo $L$ 
\begin{equation}
e^{i(k_x L)}= e^{i k_x(x+L)}
\end{equation}


??????????? $k_x L = 2 n_x \pi$ 
\begin{equation}k_x =\frac{2 n_x \pi}{L}\end{equation}


per calcolare la densit\`a, il numero di punti dentro il volumetto \`e
\begin{equation}
2 \frac{\frac{4}{3} \pi K^3}{{\frac{2 \pi}{L}}^3} = 2\frac{V}{6 \pi ^2} K^3
\end{equation}
numero di oscillatori armonici con nuero d'onda k<K grande.
$N(\lambda)$ \`e la derivata rispetto a lambda
\begin{equation}
N(\lambda) d\lambda = \frac{\partial}{\partial \lambda} \left(
\frac{V}{3 \pi ^3} K^3 \right) d\lambda = \frac{8 \pi}{\lambda^3}
\end{equation}
si ricava che 
\begin{equation}
u_\lambda(\lambda,T) = k_B T N(\lambda) = \frac{8 \pi}{\lambda^4} k_B T = ?T^5?
\end{equation}

e integrando si avrebbe
\begin{equation}
u = \int_0^piuinf d\lambda u_\lambda(\lambda) = piuinf
\end{equation}
che \`e proprio la catastrofe ultravioletta!

MANCA!!!!



la soluzione a questo problema \`e data da Plank ha detto che gli
oscillatori armonici possono assumere solo valori dicreti di eneriga
$\hslash \nu n$ con $n=0,1,2,....$

GRAFICO 8


\section{appunti 21 maggio}
In una radiazione elettromagnetia in una cavit\`a
\begin{equation}
P = \frac{u}{3}
\end{equation}
se uno pratica un foro trova la legge di Stefan Boltzmann
\begin{equation}
J \equiv I  \ ed \ anche J =\sigma T^4= \frac{c}{4} u
\end{equation}
dalle legge della termodinamica

Legge di Wien: lo spettro della radiazione emessa ha un massimo che
\`e tale che 
\begin{equation}
\lambda_{max} T = 2.8979 \, 10^{-3} \ mK
\end{equation}
abbiamo visto che la densit\`a di energia \`e rispetto alla frequenza
$u_\nu$ e quella alla lunghezza d'onda $u_\lambda$ sono legate da
\begin{equation}
u_\nu (\nu ,T) = u_\lambda (\lambda , T) |\frac{d\lambda}{d \nu} |
\end{equation}
dove $\frac{d\lambda}{d \nu} = - \frac{c}{\nu^2}$
sperimentalmente si trova che l'area sotto la curva 
{\bf GRAFICO A GOBBA} 
\`e eguale ad
\begin{equation}
\int_0^{+\infty} d\nu u_\nu (\nu,T) = u
\end{equation}
a frequenze pi\`u elevate si sposta il massimo e l'area aumenta.

Se ogni onda piana con una determinata frequenza associamo un
oscillatore armonico, se questo \`e in equilibrio alla temperatura T,
si ha
\begin{equation}
u_\lambda (\lambda, T)=k_B T N(\lambda)= k_B T \frac{8
  \pi}{\lambda^4}\\
u_\nu (\nu, T)= k_B T \frac{8 \pi}{c^3} \nu^2\\
% grafa che unisce le due formule
\end{equation}
dove $k_B$ \`e l'energia di ogni singola onda piana. Dato dall'analisi
di rayler

Se prendiamo un'oscillatore armonico unidimensionale
\begin{equation}
H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2} x^2
\end{equation}
dove $\omega$ \`e l'oscillazione angolare.
si trova che densit\`a di probabilit\`a
\begin{equation}
P(p,x) = \frac{1}{Z} e^{-\beta (\frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2}
  x^2)}
\end{equation}
dove 
\begin{equation}
Z = \int_{-\infty}^{+\infty} dp dx e^{-\beta (\frac{p^2}{2m} + \frac{m
\omega^2}{2})}
\end{equation}

possiamo scrivere che 
\begin{equation}
\frac{p}{\sqrt{2m}} = \epsilon \cos{\theta}\\
x \omega \sqrt{\frac{m}{2}} = \epsilon \sin{\theta}\\
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial (p,x)}{\partial (\epsilon, \theta)} = \\%\yacobianodi \\
| \sqrt{2 m} \frac{\cos{\theta}}{2 \sqrt{\epsilon}}  -------
\frac{1}{\omega} \sqrt{\frac{2}{m}} \frac{\sin{\theta}}{\sqrt{2
    \epsilon}} | \\
|-\sqrt{2 m} \sqrt{\epsilon \sin{\theta}} ------
\frac{\sqrt{\epsilon}}{\omega}
\end{equation}
{\bf ...... incompleto}

integrale di $Z$
\begin{equation}
Z = \frac{2 \pi}{\omega} \int_0^{+\infty} d\epsilon e^{-\beta
  \epsilon} = \frac{2 \pi}{\omega} \frac{1}{\beta}
\end{equation}

\begin{equation}
<H> = \frac{1}{\beta} = k_B T
\end{equation} cvd.

ricordiamo che 
\begin{equation}
Z \propto \int_0^{+\infty} d\epsilon e^{-\beta \epsilon}
\end{equation} 
queta formula vale solo in questo caso, non vale in genere.

Plank ha detto che l'energia \`e $\epsilon = n \hslash \nu$ dove $n
\in ad Naturali$
che equivale ad una somma di Riemann 
\begin{equation} \hslash \nu \sum_{n>= 0}
  e^{-\beta \hslash n \nu} = \frac{1}{1 - e^{-\beta \hslash \nu}}
\end{equation}
%MANCANO ALCUNE PARTI, SPENTO IL COMPUTER

\begin{equation}
  Z \propto \frac{1}{e^{-\beta \hslash \nu}}
\end{equation}
\begin{equation}
-> <n> \hslash \nu = \frac{\partial}{\partial \beta} \log{Z_p} =
\frac{e^{-\beta \hslash \nu} \hslash \nu}{1 - e^{-\beta \hslash \nu}} =
\end{equation}








\begin{equation}
d\nu u_\nu (\nu,T) = d\nu \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} -->>>\\
parentesi k_B T per RJ \\
\frac{\hslash \nu}{e^{\beta \hslash \nu} -1} per Plank
\end{equation}
il primo termine $d\nu u_\nu (\nu,T) = d\nu \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}$ 
\`e la densit\`a di modi del C.E. con $freq
\in (\nu , \nu + d\nu)$

GRAFICO DI CIRCA UNA PARABOLA
andamento qualitativo della $u_\nu$ e sperimentalmente si trova che
$\hslash = 6.6252 \ 10^{-34} \ J \, sec$


Si possono derivare alcune cose.
\begin{equation}
u_\lambda (\lambda,T) = \frac{8 \pi \hslash c}{(T \lambda)^5}
\frac{1}{e^{\frac{\hslash c}{k_B T \lambda}} -1} = T^5 f(\lambda,T) 
\end{equation}
utilizzando il cambio di variabili, come precedentemente.
dove 
\begin{equation}
f(\lambda,T) =  \frac{8 \pi \hslash c}{Z^5}
\frac{1}{e^{\frac{\hslash c}{k_B T \lambda}} -1}
\end{equation}


\begin{equation}
0 = \frac{\partial}{\partial \lambda} u_x(\lambda, T) = T^5 T
f'^{(Z)} |_{Z= \lambda T}
\end{equation}

$f'^{(Z_0)} = 0$ e $Z_0 = 2.8979 \ 10^{-3} \ K M$

tramite La legge di stefan boltzman vogliamo controllare che la
costante di prima sia verificata anche in questo caso.
\begin{equation}
\int_0^{+\infty} d\nu \frac{8 \pi \nu^3 \frac{\hslash}{c^3}}{e^{\beta
    \hslash \nu} -1} = \frac{1}{(\beta \hslash)^4} \frac{8 \pi
  \hslash}{c^3} \int_0^{+\infty} dx \frac{x^3}{e^x -1}
\end{equation}
dove $x = \beta \hslash \nu$
L'integrale vale $\pi^4/15$
\begin{equation}
=> T^4 \frac{8 \pi (k_B \pi)^4}{(\hslash c)^3 15} = \frac{4}{c} \sigma
T^4
\end{equation}
ricavando $\sigma$ si trova che 
\begin{equation}\sigma= \frac{2}{15}
\frac{\pi^5}{c^2} \frac{k_B^4}{\hslash^3} = 5.67..... \ 10^{-8} \
\frac{W}{m^2 K^4}
\end{equation}

il valore torna anche con i dati sperimentali


I ralt\`a l'energia di un onda elettromagnetica ha un'eneriga
discrietizzata, $n$ i fotoni con ognuno energia $\hslash \nu$, e in totale
$E = n \hslash \nu$

\begin{equation}
\int_0^{+\infty} \frac{V u_\nu (\nu,T) d\nu}{\hslash \nu} = N_{photons}
\end{equation}
numero di fotoni corrispondenti ad un onda con densit\`a di energia
$u_\nu()$
e integrando
{\bf Mi sono perso qualcosa?}

\subsection{Dare una stima della temeratura terrestre}
La temperatrura \`e determinata principalmente dalla radiazione
solare. Il sole ha una temeratura di circa $T_0 = 5750 \ K$

il flusso del sole vale
\begin{equation}
J = \sigma T_-^4
\end{equation}
dalla legge di Stefan-Boltzmann.

Il raggio solare \`e di $R_0 = 7 \, 10^8 \ m$
l'energia totale irradiata dal sole per unit\`a di tempo \`e di 
\begin{equation}
4 \pi R_0^2 \sigma T_0^4
\end{equation}
alla distanza $d= 1.49 \, 10^{11} \ m$ il flusso di energia per $m^2$ \`e di
\begin{equation}
\frac{4 \pi R_0^2 \sigma T_0^4}{4 \pi d^2} = Q
\end{equation}
\`e detta costante solare e vale $Q = 1368 \ \frac{W}{m^2}$.

L'energia che riceve la terra dal sole \`e il flusso integrato su
tutta la superficie tenendo conto anche della normale della superficie
della terra. Il risultato \`e di 
\begin{equation}
\int Q \hat{q} \cdot \hat{n} d\Sigma = Q \pi R_T^2
\end{equation}
e deve essere eguale alla enegia che emette la terra, approsimanta
come corpo nero
\begin{equation}
\frac{4 \pi R_0^2 \sigma T_0^4}{4 \pi d^2}  \pi R_T^2 = 
\sigma T^2 4 \pi R_T^2
\end{equation}
e semplificando ottengo
\begin{equation}
T = T_0 \sqrt{\frac{R_0}{2 d}} = 278.7 \ K
\end{equation}




Senza fare alcuna misura dello spettro, per ricavare $T_0$ del sole,
potevamo dedurre che gli organismi viventi hanno ottimizzato la loro
situazione ottenedo la massiama energia dove essa \`e massia, cio\'e
alla lunghezza d'onda in cui la densit\`a \`e massima.



\subsection{esercizio}

sfera di $d = 10 \ cm$ , $T = 10^6 \ K$

vedi appunti scritti a mano!






\section{appunti 22 maggio}
lo spettro di un corpo nero ha la forma di 
GRAFICO

il massimo corrispondeva ad una specifica temperatura
$T \approx 3 \ K$

Domanda della Roberta
MANCANO DELLE PARTI
\begin{equation}k_Y = n_y \frac{\pi}{L}\end{equation}
\begin{equation}\vec{K} = \frac{\pi}{L} (n_x,n_y,n_z)\end{equation}

GRAFICO cubo con i punti

per calcolare il numero di modi, ricordando che $|K| = \frac{2 \pi}{\lambda}$
\begin{equation}
{\mathcal N}(\lambda)= \frac{1}{8} \frac{4}{3} \pi \frac{\left( \frac{2
\pi}{\lambda} \right)^3}{\left( \frac{\pi}{L}\right)^3}
= 8 \pi \frac{V \lambda^{-3}}{3}
\end{equation}
dove ${\mathcal Z}(\lambda)$ \`e il numero di modi permessi con $|\vec{k}|
< K= \frac{2 \pi}{\lambda}$
dove $V=L^3$
allora si pu\`o scrivere il rapporto incrementale
\begin{equation}
N(\lambda) d\lambda= {\mathcal N}(\lambda)- {\mathcal
N}(\lambda + d\lambda) = -\frac{d}{d\lambda}{\mathcal N}(\lambda)
d\lambda= \frac{8 \pi V}{\lambda^4}
\end{equation}
dove $N(\lambda) \in$ al numero di modi con lunghezza d'onda
in $(\lambda, \lambda + d\lambda)$.

SPENTO IL PC

\begin{equation}
\vec{E}= \vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\vec{r} - \omega t)}\end{equation}
\begin{equation} \vec{E}(L,y)= E(0,y) =\vec{E}_0 e^{i(L k_x + y k_y)}\end{equation}
\begin{equation}
L k_x = 2 n_x \pi\end{equation}
a differenza di prima i $k$ permessi sono i$\vec{k}=\frac{2
\pi}{L}(n_x,n_y,n_z)$ adesso sono permessi tutti i k, non pi\`u
$\frac{1}{8}$, cio\'e gli $n$ positivi. Per\`o bisogna considerare $2
\pi$
quindi la densit\`a dei modi non dipende dalla condizione al contorno.


\subsection{Esercizi}
\subsubsection{esercizi del compitino}

